行測(cè)備考-數(shù)量關(guān)系
生活中的統(tǒng)籌之排隊(duì)取水問題
統(tǒng)籌問題是用數(shù)學(xué)思維來研究人力、物力的運(yùn)用和籌劃，以便發(fā)揮最大效率的一類問題。
統(tǒng)籌問題所包含的內(nèi)容非常繁雜，比如物資調(diào)運(yùn)、工作分配、排隊(duì)等。這些都是我們?cè)谌粘Ｉ?、工作中?jīng)常碰到的問題，把它們安排得更快、更好、更合理，這就是統(tǒng)籌問題存在的最大意義。
要解決統(tǒng)籌問題，必須掌握統(tǒng)籌方法。所謂統(tǒng)籌方法，就是一種安排工作進(jìn)程的數(shù)學(xué)方法，比如效率優(yōu)先原則就是其中一種。
而在統(tǒng)籌問題中有一類問題很有意思，就是排隊(duì)取水問題，我們通過幾道例題來看一下：
例1：甲、乙、丙、丁去排隊(duì)打水，4人打水所需的時(shí)間分別為3分鐘、4分鐘、7分鐘、9分鐘。如果只有一個(gè)水龍頭，要使甲、乙、丙、丁4人打水的時(shí)間與等待的時(shí)間之和最短，則這個(gè)最短時(shí)間是多少?
【解析】要使4人打水的時(shí)間與等待的時(shí)間和最短，讓等待時(shí)間最短即可，因?yàn)榇蛩臅r(shí)間是固定的，所以在只有一個(gè)水龍頭的情況下，肯定是打水時(shí)間最短的人先打，打水時(shí)間最長(zhǎng)的后打，所以，4個(gè)人的打水順序是甲、乙、丙、丁。
變形：
例2：在例1的基礎(chǔ)上，把“只有一個(gè)水龍頭”改為“可以同時(shí)使用2個(gè)水龍頭打水”。
【解析】要使4人打水的時(shí)間與等待的時(shí)間之和最短，只需讓等待時(shí)間最短即可，因?yàn)榇蛩臅r(shí)間是固定的，所以在有2個(gè)水龍頭的情況下，4個(gè)人的打水情況如下長(zhǎng):
例3：8個(gè)人去水房打水，8人打水所需的時(shí)間分別為2分鐘、3分鐘、5分鐘、7分鐘，11分鐘、13分鐘、17分鐘、19分鐘。如果水房只能同時(shí)打開3個(gè)水龍頭，要使8人打水的時(shí)間與等待的時(shí)間之和最短，則這個(gè)最短時(shí)間是多少?
【解析】按打水時(shí)間從小到大，把這8個(gè)人分別叫作:趙、錢、孫、李、周、吳、鄭和王。則這8個(gè)人的打水情況如下表:
大家發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律了嗎?
①按照打水所需時(shí)間將時(shí)間按從大到小依次排開，
②照從1開始的自然數(shù)與排好的順序依次相乘，具體乘幾個(gè)數(shù)有幾個(gè)水龍頭決定。
同學(xué)們理清思路了嗎?
行測(cè)技巧之行程“不變”應(yīng)“萬變”
行測(cè)考試行程題型一直作為考查重點(diǎn)，今天我們來看看考查了很多次的相遇問題，了解下二次相遇中追上也是相遇的奇妙過程，相信通過學(xué)習(xí)，這類題大家之后肯定能手到擒來!
一、什么是“追上即相遇”
甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，第一次相遇之后繼續(xù)前行，到達(dá)目的地后都立即返回。
問題1：若甲、乙的速度比為2:1，第二次相遇在哪?
【解析】若甲、乙的速度比為2:1，時(shí)間一樣，路程比=速度比，則甲乙的路程比也為2:1(如下圖)，在C處相遇后繼續(xù)前行，保持路程比為2:1，則當(dāng)甲到B地再返回時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，乙應(yīng)該到達(dá)D點(diǎn);接著繼續(xù)前行，甲又走2份路程到達(dá)A點(diǎn)，此時(shí)乙走1份路程也到A點(diǎn)。
問題2：兩人速度比繼續(xù)擴(kuò)大又會(huì)出現(xiàn)什么情況呢?
【解析】若甲、乙的速度比為3:1，時(shí)間一樣的前提下，路程比依然保持3:1(如下圖)：
每當(dāng)甲走3份路程，乙要走1份路程，則有，當(dāng)甲返回途中到D時(shí)，乙也到D，此時(shí)兩人方向相同，甲從背后追上了乙，在還沒來得及發(fā)生第二次迎面相遇時(shí)就已經(jīng)追上了。
問題3：哪些題的二次相遇屬于這種情況呢?
【解析】回顧上邊兩個(gè)例子，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：速度比一旦超過2:1，則存在第二次追上即相遇。
二、初識(shí)“追上即相遇”
上午9點(diǎn)整，甲從A地出發(fā)，騎自行車去B地，乙從B地出發(fā)，開車去A地。兩人第一次相遇時(shí)為9點(diǎn)半，甲、乙到達(dá)目的地后都立即返回。若甲、乙的速度比為1∶3，則他們第二次相遇時(shí)為：
A.9:40 B.9:50 C.10:00 D.10:10
E.10:20 F.10:30 G.10:40 H.10:50
【解析】已知甲乙速度比1:3，則存在第二次追上即相遇，根據(jù)題目描述作行程圖如下：
從出發(fā)直接到第二次追上(在C處)，由行程圖知甲乙的路程差固定為全程AB距離，由追及基本公式
知，
,而全程S是第一次相遇甲乙兩人的路程和，從九點(diǎn)出發(fā)到九點(diǎn)半第一次相遇，時(shí)間是30分鐘，所以
。則
,九點(diǎn)出發(fā)，60分鐘后第二次追上，故第二次相遇時(shí)為10:00。本題選C。
在第二次追上即相遇的題目中，從出發(fā)到第二次追上，路程差恒定不變，固定是一個(gè)全程，找到這一不變，一切難點(diǎn)迎刃而解!
三、鞏固訓(xùn)練
甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度是乙的4倍，甲用時(shí)15分鐘到達(dá)B地后立即返回，甲乙第二次相遇后，乙再走( )分鐘才能到達(dá)A地。
A.40 B.30 C.45 D.33.3
【解析】速度比4:1，則第二次存在追上即相遇，從出發(fā)到第二次追上作行程圖如下：
路程差固定為一個(gè)全程S，用時(shí)
，由于題目已知甲走全程用時(shí)15分鐘，所以
,所求時(shí)間為乙走全程時(shí)間減去20分鐘，全程一定，甲乙速度是4:1，時(shí)間呈反比，則甲乙時(shí)間之比為1:4,1份對(duì)應(yīng)甲走全程的15分鐘，故4份對(duì)應(yīng)60分鐘，即乙走全程用時(shí)60分鐘，所求即為60-20=40，本題選A。
以上就是關(guān)于相遇問題的解決技巧，相信你已經(jīng)找到這類題的法寶了，動(dòng)動(dòng)手指，勤做練習(xí)吧!
均值不等式在極限思維中的運(yùn)用
同學(xué)們對(duì)于極限思維這個(gè)概念都不陌生，極限思維其實(shí)在指用極限狀態(tài)分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思維，簡(jiǎn)單來說就是求最大值或者最小值問題。那均值不等式在極限思維中如何體現(xiàn)的呢，這一類型的題型特征是什么呢以及如何掌握它的解題思路，是同學(xué)們相對(duì)比較關(guān)心的內(nèi)容，讓我們一起來學(xué)習(xí)一下吧。
一、均值不等式的題型特征
均值不等式是屬于極值問題中的一個(gè)運(yùn)用，也是可以用極限思維來解題的，一般在題干或者問法中出現(xiàn)最大或最小，最多或最少、至多或至少。
二、均值不等式的定理
均值不等式的定理，若a、b是實(shí)數(shù)，則a2+b2≧2ab，符號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時(shí)候取得。一般適用于兩種題型，(1)當(dāng)和一定時(shí)，求積的最大值，也就是若a、b均是正實(shí)數(shù)，則
，符號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時(shí)候取得。但如果兩個(gè)數(shù)a、b取不到相等的時(shí)候，和一定的兩個(gè)數(shù)，差越小，積越大。(2)當(dāng)積一定，求和的最小值，同理，如果兩個(gè)數(shù)a、b取不到相等的時(shí)候，積一定的兩個(gè)數(shù)，差越小，和越小。
三、例題展示
例1、若兩個(gè)自然數(shù)的和為20，求這兩個(gè)自然數(shù)積的最大值。
答案為100。解析：根據(jù)
，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b的時(shí)候取得。可得
，ab要取得最大值僅當(dāng)a=b的時(shí)候取得，所以這兩個(gè)數(shù)分別都是10，他們的積取到最大，且最大值為100。
例2、用60米長(zhǎng)的鐵板圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞窩，問這個(gè)雞窩的面積最大是多少?
A、200 B、225 C.300 D、600
答案B。解析：由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為60，可知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)加寬的和為60÷2=30，兩個(gè)數(shù)的和一定時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的積可取得最大值，也就是長(zhǎng)等于寬等于30÷2=15，所以雞窩的面積最大為長(zhǎng)乘以寬等于15×15=225。
